題目

從圓周率開始的極限思想

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牟合方蓋模型
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《九章算術》方田章提出了圓面積公式,其中分別是圓面積、周長、半徑。在劉徽之前,人們以圓內接正6邊形周長代替圓周長,以正12邊形面積代替圓面積,用出入相補原理近似驗證上述公式。劉徽指出,此「合徑率一而弧周率三也」,而圓的周長與直徑「非周三徑一之率也」。從而創造了用無窮小分割和極限思想證明圓面積公式的方法。他從直徑d=2尺的圓開始割圓,利用畢氏定理,求出正邊形的邊心距,餘徑,以及邊長,,算出=,因此,確定圓面積近似值。將其代入圓面積公式:,於是。將其與直徑20寸相約,得到,相當於。學術界普遍認為劉徽在求出後,利用圓面積公式求出,是錯誤的。劉徽又進而求出,相當於。南朝祖沖之進一步將圓周率值精確到8位有效數字,相當於求出。普遍認為,祖沖之是用劉徽的程式求得此值。祖沖之進一步確定為密率,這是分母小於16604的一切分數中最接近的真值的分數。這些成就在世界上領先約千年。

 

祖暅之開立圓術所說的「夫疊棊成立積,緣冪勢既同,則積不容異」,是說同底等高的兩組立體,若等高處的截面積相等,則其體積必相等,這稱為祖暅之原理,西方稱為卡瓦列利原理。實際上,《九章算術》中許多方體與圓體都是成對出現,說明是通過比較其底面積由前者推導後者。劉徽認識到,不僅要比較底面積,而且必須比較任意等高處的截面積。他在羨除術注中提出「上連無成不方,故方錐與陽馬同實」,就是這個意思。基於這一認識,他發現《九章算術》開立圓術所使用的球體積公式是錯誤的,並設計了牟合方蓋。

 

劉徽和祖沖之父子之後一千餘年,中國的無窮小分割和極限思想沒有明顯進步,甚至未曾達到劉徽的水準。清中葉後人們研究冪級數展開式,在這方面開始超過劉徽,成績最著者當推李善蘭。在接觸西方微積分思想之前,他在《方圓闡幽》(1845年)提出:「當知諸乘方皆可變為面,並皆可變為線。」即若x為任意正數,n為正整數,則的數值可以表示成一個平面積,也可以表示成一條直線段。他進而指出,「當知諸乘方皆有尖錐」,「當知諸尖錐有積李善蘭還將尖錐術用於圓面積的計算。在《對數探源》中,李善蘭用尖錐術解決了對數函數的冪級數展開式。疊之理」。即當x在區間[o,h]內時,表示的平面積疊成一個尖錐體。李善蘭的工作大體相當於牛頓、萊布尼茲之前歐洲數學家關於微積分的工作,儘管完成這些工作的預備知識中有西方初等數學,但確是中國傳統數學的一次創造性突破。

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上載日期:
2019年11月19日

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