題目

如何開方?

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開平方之幾何解釋
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在中國傳統數學中,求解2次以上的方程都叫做開方,與現今只將求二項方程的根稱為開方是不同的。《九章算術》少廣章在世界數學史上首次給出了開平方、開立方的程式。其方法與現今基本一致,只是帶有從除法脫胎出來的痕跡,故稱為「開方除之」。

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開立方之幾何解釋
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劉徽用幾何方法證明開平方、開立方法的正確性。劉徽、《孫子算經》、賈憲等都對開方術作了不同程度改進,賈憲的方法與現今完全一致。賈憲三角是將整次冪二項式的展開式的係數自上而下擺成的等腰三角形。賈憲把這種開方法稱為「立成釋鎖法」。「釋鎖」形象地將開方比喻為打開一把鎖;「立成」是唐宋曆算家使用的一些計算常數的算表,因此,立成釋鎖法就是借助於算表進行開方的方法。這個算表就是賈憲三角。

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賈憲三角
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賈憲將求賈憲三角各廉的增乘方法即隨乘隨加的方法移植到開方術,創造了增乘開方法。它主要是在得出根的某位得數後求減根方程時採用隨乘隨加的方式達到與使用賈憲三角的係數異曲同工的目的,而比後者的程式更加整齊,易掌握。南宋秦九韶在《數書九章》田域類「尖田求積」一問中提出正負開方術,並註明「後篇效此」,說明是一種普遍方法。它把以增乘開方法為主導的求高次方程正根的方法發展到十分完備的程度。他的方程有的高達10次,方程的係數在有理數範圍內沒有任何限制,並對無理數係數提出了有理化的方法。增乘開方法是宋、元數學家的共識。李冶、朱世傑等沒有常數項為負的規定。秦、李、朱對開方過程中出現的常數項變號或常數項的絕對值增大等情況,都提出了處理方法。李、朱還提出「之分法」,對某些難以開方的情況,做某些變換後再開方。

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《數書九章》書影
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設未知數列方程的方法被稱為天元術,是金、元數學家創造。現存使用天元術的最早著作是李冶的《測圓海鏡》(1248年)。天元術是「立天元一」為未知數,再根據問題的條件列出兩個等價的天元多項式,「如積相消」,得出一個開方式,即一個一元高次方程。天元多項式的標記法是在一次項旁記「元」或在常數項旁記「太」,其他冪次由其與「元」或「太」的相對位置決定。從此,高次方程造術有了規範程式。天元術先是採用高次冪在上,低次冪在下的方式。

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上載日期:
2019年11月19日

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