畢氏定理在各個文化傳統的早期都有所認識，西方稱為畢達哥拉斯定理。《周髀算經》載公元前十一世紀商高提出「勾廣三，股修四，逕隅五」，即。然而他的勾股圖已佚，是否通曉一般的畢氏定理，學術界有爭論。公元前五世紀陳子曾應用畢氏定理求觀測者到太陽的距離：「以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，並而開方除之，得邪至日。」《九章算術》勾股章云：「勾股術曰：勾、股各自乘，並而開方除之，即弦。」此即：。趙爽、劉徽分別用出入相補原理證明。劉徽的文字簡括，到底如何出入相補，清中葉後學者們推測很多。

如何用公式表示出全部勾股數組，是二千多年來數學家們關注的問題。世界上第一次做出勾股數組通解公式的是《九章算術》勾股章「甲乙同所立」、「甲乙出邑中央」二問。前者是：「今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而邪東北與乙會。問甲、乙行各幾何？」顯然，在勾股形中，甲行c+a，乙行b，而。《九章算術》先求出南行率即勾率，東行率b=mn，斜行率，或然後由已知的南行步數，利用今有術，求出東行和邪行步數。這裏勾、股、弦三率就是勾股數組的通解公式，後一個問題也給出此式。在現代數論中，其為通解的條件是m,n是互素的奇數。《九章算術》的兩個例題都符合這個條件。劉徽用出入相補原理證明這個公式。在國外，數論界公認最先給出勾股數通解公式的是古希臘的丟番都，他大約與劉徽同時，比《九章算術》晚了四百多年，而且他的表達式需要經過變換，才如《九章算術》那樣規範。

將畢氏定理進行恒等變換，可以用於解勾股形。《九章算術》提出了以下幾個類型：已知勾與股弦差（和）求股、弦。《九章算術》應用了，趙爽、劉徽證明下列公式：

以已知勾與股弦和求股為例說明趙爽、劉徽的證明。已知弦與勾股差求勾、股，《九章算術》使用了公式：

第二個等號後是趙爽、劉徽的簡化。劉徽還提出了與之對稱的已知弦與勾股和求勾、股的公式，以及與勾股差有關的其他公式。已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦，《九章算術》使用而趙爽、劉徽證明公式：

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勾股容圓是《九章算術》中一個已知勾股形的勾、股，求其內切圓的直徑問題。給出的公式是圓徑。劉徽用出入相補原理和衰分術兩種方法證明這個公式，到宋、元時代，勾股容圓成為重要的研究專題，考慮了各種容圓情況，稱為「洞淵九容」。李冶在此基礎上繪出圓城圖式，討論了勾股形與圓的10種關係。