题目

朱世杰与垛积招差

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隙积图
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垛积术是高阶等差级数求和问题,是宋元数学的重要分支。十一世纪沈括创造隙积术,开其先河。沈括研究了坛、罐等堆垛起来的刍童形垛,因为积之有隙,称为隙积,不能用《九章算术》的刍童公式求其数目。设隙积的上底宽a,长b,下底宽c,长d,共n层,沈括的隙积术是,比刍童体积多。这是二阶等差级数求和问题。十三世纪杨辉以各种子垛模拟《九章算术》的多面体,实际上,在沈括公式中令,便是杨辉的四隅垛公式;令,便是杨辉的方垛公式;令,除以2,便是三角垛公式朱世杰解决了更多及更高阶的等差级数求和问题。他提出了一系列三角垛公式:茭草垛,三角垛(或落一形垛),撒星形垛(或三角落一形垛),三角撒星形垛(或撒星更落一形垛),三角撒星更落一形垛显然,上述各级数依次是贾宪三角的第2,3,4,5,6条斜线上的数字,而其和恰恰是第3,4,5,6,7条斜线上的第个数字。这正是朱世杰有两组并行线将贾宪三角各个数联结起来的原因。可见,朱世杰已经掌握了三角垛的一般公式朱世杰还解决了以四角垛为一般项高阶等差级数求和问题。

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朱世杰

朱世杰是中国宋元时期的数学家。他的生平少有人知,就连他生卒日的资料也不详。

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朱世杰改进的贾宪三角
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郭守敬、王恂等元朝历算学家在制定《授时历》曾用招差术推算日、月的按日经行度数。朱世杰将他在高阶等差级数求和方面的知识用于解决高次招差法问题。他在《四元玉鉴》“如象招数”门计算招兵数目求得上差、二差、三差,下差后,指出:“求兵者:今招为上积,又今招减一为茭草底子积,为二积,又今招减二为三角底子积,为三积,又今招减三为三角落一积,为下积。以各差乘各积,四位并之,即招兵数也。”因此,求招兵数就是使用了招差公式:这一公式与现代通用的公式完全一致。欧洲同样的公式是牛顿在1676年创造的。

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上载日期:
2019年11月19日

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